Spesso la creazione di materiali nano-strutturati parte dal basso (tecnica di bottom-up). Questo significa che se voglio ottenete un materiale dalle ben definite proprietà optoelettroniche, lo vado a costruire, all’interno di una camera a vuoto, a partire da una superficie di materiale opportuno sopra al quale vado a far depositare particelle che ivi giungono sotto forma di vapore. E’ il caso della epitassia a fascio molecolare – in inglese, molecular beam epitaxy – oggi ampiamente impiegata nella produzione di dispositivi a semiconduttori, o della deposizione chimica a vapore – chemical vapour deposition – utilizzata massivamente nella industriale di diamanti sintetici. La crescita delle superfici è monitorata passo passo in tempo reale e, a seconda del tipo di processo in gioco, si applica questa o quella equazione di crescita.
Processo di deposizione di particelle su superficie. Nella random deposition with surface relaxation le particelle prima giungono alla superficie e poi si spostano lateralmente nel caso rilevino la presenza di una buca a potenziale minore.
Quel che è possibile misurare in tali processi impercettibili all’occhio umano è la ruvidezza della superficie (surface roughness), una grandezza estensivamente usata nella caratterizzazione delle texture di superfici. Intuitivamente è associabile alle asperità di un materiale, cioè alla deviazione fra una superficie reale e una ideale o perfettamente liscia. Più le deviazioni sono grandi (piccole) più la superficie è ruvida (liscia). Il parametro che quantifica la roughness di superficie è la funzione $w(L,t)$ chimata ampiezza di superficie (surface width), che è la media quadratica dei valori assoluti delle deviazioni rispetto ad una condizione di superficie perfettamente liscia.
Se il processo considerato è di deposizione casuale con rilassamento di superficie, da qui in poi RDSR (random deposition with surface relaxation) le particelle vengono sparate sulla superficie dall’alto in maniera randomica, e si depositano sul primo sito libero che trovano, lungo la direzione di caduta che si assume essere perpendicolare alla superficie. In seguito, se nelle vicinanze si trovano siti liberi ad altezza inferiore, le particelle si spostano lateralmente per occupare quella posizione. L’equazione di crescita di un sistema dinamico che vanta la presenza di una parte puramente randomica viene chiamata equazione di Langevin e assume la forma generale: $$\frac{\delta(h)}{\delta(t)}=G(h,x,t)+\eta(x,t)$$ in cui $\eta(x,t)$ rappresenta la parte sulla quale non si ha controllo e $G(h,x,t)$ racchiude tutta la parte deterministica del sistema ed $h(x,t)$ è una funzione qualsiasi, nel caso considerato $h(x,t)=w(x,t)$.
L’equazione di Langevin sta alla base dei processi stocastici, ne scrivo già in quest’altro articolo. A partire dalla equazione di Langevin è possibile arrivare alla equazione di crescita tipica dei processi che presentano fenomeni di rilassamento, semplicemente annotando quelle che sono le simmetrie che si osservano durante tutto il processo di crescita. Infatti, basta prendere come riferimento l’immagine di copertina dell’articolo per convincersi che il sistema risulta invariante sotto cinque diverse trasformazioni:
- Invarianza per traslazione temporale $t \rightarrow t + dt$
- Invarianza traslazionale lungo la direzione di crescita $h \rightarrow h + \delta h$
- Invarianza traslazionale lungo la direzione perpendicolare a quella di crescita $x \rightarrow x + \delta x$
- Invarianza per rotazione ed inversione lungo la direzione di crescita
- Simmetria up/down per h $h \rightarrow -h$
Attraverso le precedenti osservazioni è possibili costruire l’equazione di crescita andando ad elidere i termini $\bigtriangledown^{n}h$ che non rispettano le simmetrie richieste. Quel che rimane, va valutato nel limite idrodinamico, per grandi t e grandi x, poiché in processi del genere vengono valutati in funzione delle loro leggi di scala. L’equazione finale è nota come equazione di Edwards-Wilkinson. $$\frac{\delta(h)}{\delta(t)}=\nu \bigtriangledown^{2}h +\eta(x,t)$$
$\nu$ è visto come un coefficiente di diffusione che moltiplica una sorta di tensione superficiale mentre la funzione $\eta(x,t)$ è il classico rumore di fondo. Ottenere una espressione esplicita degli esponenti di scala per una superficie auto-affine (cioè una superficie che quando viene ridimensionata, a scale diverse nei diversi assi cartesiani, rimane uguale a se stessa ) è molto semplice.
Infatti, tenendo ben a mente le relazioni di scala per I parametri x, h e t:
X -> x’ = ex
H -> h’=e^ah
T -> t’=e^zt
È sufficiente porre una uguaglianza fra la equazione di partenza e la equazione riscalata. Si ottengono, esplicitamente, I valori: alfa = ½, beta=1/4, z=2