Il metodo degli elementi finiti, che d’ora in poi chiameremo FEM, inizia a svilupparsi attorno agli anni 30 del ‘900, per ragioni prettamente ingegneristiche. Non a caso anche oggi, una gran fetta di problemi che richiedono una soluzione numerica ne fanno ampio uso. Esso è infatti in grado di trattare problemi dal dominio di forma complessa, come lo studio strutturale del telaio di un’automobile o di un aereo. Rappresenta quindi un ottimo esempio di studio di confine: tre diversi ambiti (fisico, matematico ed ingegneristico) hanno contribuito alla sua applicazione e ne traggono beneficio.
Se il problema è ben posto (vedi qui per il significato), questo metodo sarà il tuo più grande alleato nella risoluzione dei BVP. Vediamo di analizzarlo passo per passo. Per partire consideriamo un sistema fisico molto semplice, composto da una barra rigida appesa al soffitto. Questo ci aiuterà ad introdurre alcuni passaggi utili. Un estremo della barra, diciamo quello posto ad x=0 sarà fisso, mentre l’altro, quello posto ad x=l (con l lunghezza della barra), sarà libero di muoversi. Indichiamo con u(x,t) la deformazione assunta dell’oggetto. Per semplicità supponiamo che la sezione trasversale A sia costante e che la barra sia linearmente elastica (soddisfa quindi la legge di Hook), supponiamo anche che sia abbastanza sottile da permetterci di tralasciare le forze interne trasversali alla elongazione. Chiamo k(x) la costante elastica e $\rho(x)$ la distribuzione della densità di materia, entrambi dipendenti dalla posizione. Allora, il sistema così costituito, all’interno dell’elemento di lunghezza che va da x a $x+\Delta x$, si deformerà in un istante di tempo t, come
$$(x+\Delta x +u(x+\Delta x,t))-(x+u(x,t))=\Delta x +u(x+\Delta x,t)-u(x,t)$$
e la variazione della lunghezza in relazione alla deformazione subita è
$$\frac{u(x+\Delta x,t)-u(x,t)}{\Delta x}= \frac{\partial u}{\partial x}(x,t)$$
Considerando sempre lo stesso elemento di lunghezza della barra, la tensione interna per la legge di Hook sarà proporzionale, attraverso k(x), alla sua deformazione. Chiamando T(x,t) la energia totale interna, si ha
$$T(x,t)=Ak(x+\Delta x)\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,t)-Ak(x)\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)$$
Assumendo il contributo, anche, di una forza esterna $f(x,t)$ e per il teorema fondamentale del calcolo, la espressione di cui sopra diventa la seguente
$$\int_{x}^{x+\Delta x}A\frac{\partial }{\partial x}(k(s)\frac{\partial u}{\partial x}(s,t))ds + \int_{x}^{x+\Delta x}Af(s,t)ds$$
Per la seconda legge di Newton uguaglio la quantità ottenuta per il prodotto della massa ed accelerazione del sistema
$$\int_{x}^{x+\Delta x}A\rho (s)\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(s,t)ds$$
Riordinando e semplificando per A si ottiene, finalmente, la seguente espressione:
$$\int_{x}^{x+\Delta x}[\rho (s)\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(s,t)ds – \frac{\partial }{\partial x}(k(s)\frac{\partial u}{\partial x}(s,t))-f(s,t)]ds=0$$
Questo deve valere per ogni x interno all’intervallo [0,l] e per ogni $\Delta x>0$. Ciò significa che l’integranda deve essere nulla e la equazione differenziale parziale che otteniamo è nota come equazione delle onde
$$\rho(x)\frac{\partial^2u }{\partial t^2}-\frac{\partial }{\partial x}\left ( k(x)\frac{\partial u}{\partial x} \right )=f(x,t)$$
Questa sarà utile per partire con l’applicazione del metodo FEM.
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