Il punto di partenza del MG è la formulazione debole di un problema differenziale. Risolvere numericamente un’equazione differenziale in forma forte, infatti, arrivare cioè a determinarne una approssimazione della funzione incognita, significa richiedere che la soluzione manifesti particolari proprietà di regolarità. Questo, nel caso di una equazione differenziale di secondo ordine, significa richiedere che la soluzione sia di classe $C^2$ sul dominio $\Omega$; faccia parte, cioè, dello spazio delle funzioni continue, con derivate prime e seconde a loro volta continue. Insomma uno spazio di dimensione infinita.
Risolvere numericamente un’equazione differenziale grazie al metodo di Galërkin significa cercarne la soluzione approssimando non la funzione incognita bensì lo spazio funzionale di definizione del problema.
Per applicare il metodo occorre fissare:
- un sottospazio di dimensione finita contenuto nello spazio vettoriale di partenza
- e una sua base
Partiamo dal risultato dell’articolo precedente (vedi qui), il nostro obiettivo è trovare quella funzione u di H tale che, per ogni v di V $\in$ H spazio di Hilbert, si ha
$$a(u,v)=(f,v)$$
Applicandovi Galërkin quel che si vuole è trovare una soluzione approssimata $u_{h} \in V_{h}$ con $V_{h}$ una famiglia di spazi dipendente dal parametro positivo h tali che $V_{h} \in V $, $dimV_{h} = N_{h} <\inf$ per ogni h>0 . Il problema approssimato diventa, allora, quello di trovare uh ∈ Vh tale che , per ogni vh di Vh si ha
$$a(u_{h}, v_{h}) = (f,v_{h})$$
In realtà, poiché ogni funzione dello spazio Vh può essere rappresentata come combinazione lineare delle funzioni della sua base, sarò sufficiente che il problema approssimato sia verificato per ogni {\Phi_{j}, j=1,2,..,N_{h} base di $V_{h}$. Allora il problema diventa il seguente
$$a(u_{h}, \phi_{h}) = (f,\phi_{h})$$
con $$u_{h}=\sum_{j=1}^{N_{k}}u_{j}\phi_{j}(x)$$
con $u_{j}$ elementi incogniti
$$\sum_{j=1}^{N_{h}}u_{j}a(\phi_{j},\phi_{i})=(f,\phi_{i})$$
Questo riconduce al problema lineare
$$Au=f$$
- $A$ matrice di rigidità (stiffness) di elementi $a_{i,j}=a(\phi_{j},\phi_{i})$, simmetrica se la forma bilineare A è simmetrica
- $f_{i}$ vettore di componenti $(f,\phi_{i})$
- $u$ vettore di componenti i coefficienti incogniti $u_{i}$
Esprimere la equazione in forma debole è necessario per ridurre il grado di regolarità richiesto alle funzioni di questo spazio. La velocità di convergenza del MG è variabile e dipende fortemente dalla regolarità della soluzione, che a sua volta dipende dalla regolarità del dominio di definizione e dei coefficienti della equazione differenziale. Una soluzione poco regolare richiederebbe, infatti, una dimensione del dominio molto elevata e diventerebbe computazionalmente molto pesante.
Per ovviare al problema si può applicare il metodo degli elementi finiti: un metodo che rientra tra le sottoclassi del metodo di Galërkin. Per raggiungere continuare con il prossimo articolo, clicca qui.