Quante volte si è fatto uso di un teorema che portasse questo nome? Sinceramente non le ricordo tutte. Un po’ come per il teorema spettrale, rappresenta uno strumento dalle svariate utilità. Non deve stupire, quindi, di re-incontrarlo anche nello studio di sistemi differenziali. Anzi, all’interno del metodo degli elementi finiti (fem) diventa uno strumento indispensabile. Ma, come sempre, procediamo a passo di lemure: cauto e guardingo.
Il teorema di proiezione come lo intendiamo nel fem vive nello spazio di Hilbert.
Lo spazio di Hilbert è uno spazio prehilbertiano (cioè uno spazio vettoriale in cui è definito un prodotto scalare) completo rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare. Uno spazio metrico è completo se ogni successione di Cauchy ivi definita converge a un elemento dello spazio.
Ad esempio di tutti gli $L^{p}(a,b)$ che sono spazi di Banach, l’unico ad essere uno spazio di Hilbert è $L^{2}(a,b)$. Inoltre possiamo essere sicuri che $\left \|. \right \|$ rappresenti una norma indotta dal prodotto scalare se soddisfa l’identità del parallelogramma:
$$\left \|u+v \right \|^2 + \left \|u-v \right \|^2=2(\left \| u^2 \right \|+\left \| v^2 \right \|)$$
Negli spazi di Hilbert è possibile parlare di ortogonalità tra vettori. Con ciò intendiamo che, dato $H$ uno spazio di Hilbert con $u,v$ $\in$ $H$, essi soddisfano la condizione $<u,v>=0$. Ora, prendiamo un sottospazio $ V \in H$ di dimensione $N$, con $\left \{b_{1},b_{2},…,b_{N} \right \}$ una sua base ortogonale. Sia $h\in H \setminus V$, qual’è la sua proiezione in $V$?
Il teorema di proiezione è in grado di rispondere a questa domanda e afferma, equivalentemente, quanto segue: preso un qualunque $h\in H \setminus V$, esiste un unico $v \in V$ che è possibile chiamare proiezione ortogonale di h su V tale che:
- v è l’elemento di V avente distanza minima da h $$\left \| v-h \right \|= \min_{w \in V} \left \| h-w \right \|$$
- il prodotto scalare della differenza h-v con qualsiasi vettore w $\in$ del sottospazio V è nullo, cioè la differenza è ortogonale a qualsiasi altro vettore del sottospazio V $$<h-v,w>=0 $$
- la proiezione ortogonale di h nel sottospazio V è pari alla somma delle proiezioni ortogonali del vettore v in ogni vettore b della base ortogonale $$v=\sum_{i=1}^{N} \frac{(b_{i},h)}{\left \|b _{i} \right \|^2}b_{i}$$ se la base è ortonormale questo si semplifica in $$v=\sum_{i=1}^{N}(b_{i},h)b_{i}$$