Il teorema di Bloch è un concetto importante all’interno della teoria quantistica dei materiali e viene utilizzato in molte applicazioni pratiche. Il teorema descrive la distribuzione quantistica delle particelle elettroniche in un cristallo. E’ stato elaborato dal fisico svizzero Félix Bloch, premio Nobel per la fisica nel 1952 – e primo direttore del CERN di Ginevra – negli anni d’oro di inizio 900, quando si è affinata e consolidata la visione quantistica del mondo. ⚛️

Il teorema di Bloch

Facciamo una premessa! Il teorema di Bloch si applica specificatamente ai reticoli cristallini, caratterizzati da una struttura atomica ordinata e simmetrica. Questa simmetria è fondamentale per le proprietà fisiche dei cristalli, come durezza e conduttività. In particolare, il teorema si concentra sulla funzione d’onda degli elettroni all’interno di un cristallo, nota come funzione d’onda di Bloch. Questa funzione è distintiva per la sua periodicità, che riflette quella del reticolo cristallino stesso, e dipende da variabili spaziali e quantistiche specifiche.

La funzione d’onda Bloch che descrive la distribuzione quantistica degli elettroni interni al cristallo riflette la periodicità del reticolo cristallino.

Formalmente, il teorema afferma che le auto-funzioni in un cristallo con un potenziale periodico assumono una forma particolare, costituita da una funzione periodica incognita moltiplicata per un’onda piana. Le auto-funzioni sono continue della variabile spaziale $\vec{r}$ e dipendono direttamente da alcuni indici quantici.

Il teorema di Bloch afferma che le autofunzioni $\psi_{nk}(\vec{r})$ di un problema con potenziale periodico $V(\vec{r}+ \vec{a})=V(\vec{r})$ su un reticolo, assumono la forma

$$\psi_{nk}(\vec{r}) = u_{nk}(\vec{r}) \cdot e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}$$

con $u(\vec{r})$ funzione periodica incognita $u(\vec{r}+ \vec{a})=u(\vec{r})$ con lo stesso periodo del potenziale ed $e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}$ onda piana.

In questa espressione i rappresenta l‘unità immaginaria, $\vec{r}$ il vettore posizione, n l’indice di banda e $\vec{k}$ il vettore d’onda. Come dicevamo, il teorema di Bloch stabilisce una forma precisa affinché le funzioni d’onda possano essere considerate a tutti gli effetti, soluzioni alla equazione di Schrödinger del cristallo. Una di queste condizioni, quella di periodicità, è sottintesa nella definizione della funzione $u(\vec{r})$. Inoltre, il teorema fornisce due indici per identificare le auto-funzioni: il vettore d’onda “k”, che varia nella prima zona di Brillouin, e l’indice di banda “n”, che indica la banda energetica specifica dell’elettrone. In particolare:

• il vettore d’onda $\vec{k}$ – che varia con continuità all’interno della prima zona di Brillouin. $\vec{p}=\frac{h}{2\pi}\vec{k}$ rappresenta il momento quantistico associato alla funzione d’onda
• l’indice di banda n – un valore discreto che sta ad indicare la banda energetica di appartenenza della funzione. In meccanica quantistica n discrimina univocamente i diversi livelli energetici di un atomo

Struttura a bande: bande energetiche proibite e bande energetiche permesse

Le funzioni di Bloch permettono di distinguere tra bande energetiche proibite e permesse, una caratteristica non presente nel modello degli elettroni liberi ma introdotta dal modello ad elettroni QUASI liberi. Questa distinzione è fondamentale per capire la conduttività dei materiali. Il debole potenziale perturbativo da luogo ad una struttura fatta di bande energetiche proibite – in cui l’elettrone non può stare – affiancate da bande energetiche permesse – in cui l’elettrone può trovarsi – al cui interno il vettore d’onda $\vec{k}$ varia con continuità. Le funzioni di Bloch sono in grado di discriminare fra queste diverse bande energetiche.

Funzioni di Bloch

Le auto-funzioni $\psi_{nk}(\vec{r}) $, cioè le funzioni di Bloch rappresentano le soluzioni dell’equazione di Schrödinger per una singola particella in presenza di un potenziale periodico associato a un reticolo cristallino. In genere, la particella interessata è l’elettrone. Tuttavia, non si fa alcun assunto sul tipo di particella coinvolto, all’interno della teoria, quindi questa vale anche per altre tipologie di particelle.

Le funzioni di Bloch sono auto-funzione dell’energia e sono composte da onde piane, modulate spazialmente da una funzione periodica con stesso periodo del potenziale del sistema. $u_{nk}(\vec{r})$ non è nota a priori. Calcolarla significa risolvere l’equazione di Schrödinger del problema in gioco. Farlo non è semplice, ma è possibile arrivarci analizzando quel che accade nei due limiti di potenziale nullo e di potenziale forte. Questi corrispondono a due modelli molto in voga: il modello a elettroni liberi – free electron model – e il modello a legame stretto – tight binding model -. Il primo parametrizza il comportamento degli elettroni di conduzione all’interno di un materiale metallico, che si muovono al suo interno come se non si accorgessero della presenza dei nuclei atomici del cristallo. Il secondo si adatta maggiormente alla condizione degli elettroni di un materiale isolante, che fanno fatica a separarsi dalla buca di potenziale atomico su cui si trovano.