Nel 1900 il fisico tedesco Paul Drude pubblica sulla famosa rivista “Annalen der Physic” una rivisitazione della teoria cinetica dei gas, applicata agli elettroni liberi di muoversi all’interno di un solido metallico. Egli assume che gli ioni facenti parte del reticolo siano impossibilitati a muoversi e considera il comportamento di quei soldi elettroni di valenza in grado di muoversi per tutto il volume, tralasciando l’interazione degli stessi con gli ioni fissi e tra loro stessi. Più in generale, assumendo che la polarizzabilità degli atomi o delle molecole che compongono il materiale, dovuta a spostamenti del baricentro delle cariche negative rispetto al baricentro delle cariche positive, sia descrivibile classicamente da modi propri di oscillatori armonici smorzati, studiare la dinamica di un sistema dal punto di vista semiclassico significa studiare la seguente legge del moto:
$$m \ddot{\vec{x}}=e\vec{E}-k \vec{x} -m\gamma\dot{\vec{x}}$$
con $m$ massa efficacie degli elettroni, k forza elastica di richiamo tali che $k=m\omega_0^2$ e $\gamma$ termine di smorzamento che ha origine dall’interazione tra gli elettroni e le vibrazioni (fononi) o le impurezze del reticolo ed è anche legato al tempo di cammino libero medio $\tau$ degli elettroni, ovvero il tempo che intercorre mediamente tra un urto e il successivo $\gamma=\frac{1}{\tau}$. E’ possibile esprimere l’equazione differenziale di secondo ordine non omogenea nella forma normale :
$$\ddot{\vec{x}}+\gamma\dot{\vec{x}} + \omega_0^2 \vec{x}= \frac{e\vec{E}}{\vec{x}}$$
Le forze che entrano in gioco nel sistema sono tre:
- un termine di interazione con il campo elettrico
- un termine di forza elastica di richiamo
- un termine di attrito viscoso dovuto alle collisioni con gli ioni che rallenta gli elettroni
Il metallo mostra un comportamento che si trova a metà strada fra due estremi :
- Dielettrico $\omega_0 \neq 0$, $\gamma \neq 0$
- Conduttore $\omega_0 = 0$, $\gamma \neq 0$
- plasma senza collisioni $\omega_0 = 0$, $\gamma = 0$
Trattando un materiale conduttore i cui elettroni vengono assunti liberi e indipendenti, il modello di Drude non considera il termine che comprende la costante elastica k all’interno della legge del moto; ciò sta a significare che il materiale non ha una frequenza propria di vibrazione. Il punto di partenza per questa analisi è considerare la legge di Ohm locale per cui il vettore densità corrente elettrica è espresso come prodotto di due quantità: una funzione nota come conducibilità elettrica, ovvero la risposta del materiale al campo elettrico applicato, e il campo stesso.
$$\vec{j}=\rho \vec{v}= N e \vec{v} = \sigma(\omega) \vec{E}$$
Ottenere l’espressione per la velocità è semplice. Supponendo che il campo elettrico che investe il materiale sia di tipo sinusoidale, ci si aspetta una soluzione dello stesso tipo
$$\vec{E(t)}= E_0(\omega) e^{-i \omega t}$$
$$\vec{x(t)}= x_0(\omega) e^{-i \omega t}$$
e, andando a sostituire $\vec{x}$ all’equazione del moto
$$-\omega^2\vec{x}-i\omega\gamma \vec{x} =\frac{e}{m}\vec{E}$$
si ottiene la soluzione seguente:
$$\vec{x} = \frac{\frac{e}{m}\vec{E}}{-\omega^2-i\omega\gamma}$$
da cui derivando si ottiene
$$\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}=v_0(\omega) e^{-i\omega t}$$
con $v_0=-i\omega t$ e quindi:
$$\vec{v}=\frac{-i\omega\tfrac{e}{m}\vec{E}}{-\omega^2-i\omega\gamma}$$
Riprendendo la definizione iniziale e operando la sostituzione per $\vec{v}$ si ottiene finalmente:
$$\sigma(\omega)=\frac{-i\omega\tfrac{Ne^2}{m}}{-\omega^2-i\omega\gamma}=\frac{-i\omega \omega_p^2 \epsilon_0}{-\omega^2-i\omega\gamma}$$
Con $\frac{Ne^2}{\epsilon_0 m}=\omega_p^2$ nota come frequenza di plasma. Quando il materiale viene investito da un’onda elettromagnetica la sua risposta è contenuta tutta all’interno della funzione $\sigma(\omega)$, il cui valore di conduttività nominale si ha per $\omega\rightarrow 0$ pari a
$$\sigma(\omega)=\frac{\omega_p^2 \epsilon_0}{\gamma}$$
In regime di ottica lineare $\vec{P}=\epsilon_0 \chi \vec{E}$, a partire da quanto si è definito finora, è possibile ottenere un’espressione per il vettore polarizzazione elettrica
$$\vec{P}= N\vec{p}= Ne\vec{x} = \frac{\frac{Ne^2}{m}\vec{E}}{-\omega^2-i\omega\gamma}=\epsilon_0 \chi \vec{E} $$
da cui
$$\chi(\omega)= \frac{\frac{Ne^2}{m}}{-\omega^2-i\omega\gamma}= \frac{\sigma(\omega)}{-i\omega}$$
Infatti $\vec{j}=\sigma(\omega)\vec{E}=-i\omega \chi(\omega) \vec{E}$. Per mezzi omogenei e isotropi, è possibile definire il vettore induzione elettrica come:
$$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E} + \vec{P}= \epsilon_0(1+ \chi(\omega))\vec{E} =\epsilon_0 \epsilon(\omega)\vec{E}$$
Avendo definito $\epsilon(\omega) = (1+ \chi(\omega))$ si ricava la funzione dielettrica andandovi a sostituire l’espressione ottenuta per la suscettività.
$$\epsilon(\omega) = 1 + \frac{\frac{Ne^2}{m}}{-\omega^2-i\omega\gamma}$$
Essa contiene al suo interno tutte le informazioni indispensabili a capire come si comporta il materiale investito da un campo elettromagnetico da un punto di vista ottico. In particolare, la funzione di elettrica è una funzione complessa
$$\epsilon(\omega) = \epsilon_1(\omega) +i \epsilon_2(\omega) $$
la cui parte reale restituisce l’indice di rifrazione della luce e la cui parte complessa restituisce l’indice di assorbimento del materiale
$$\left\{\begin{matrix}
\epsilon_1(\omega)= 1 – \frac{\frac{Ne^2}{m}}{\omega^2+\gamma^2} = \mathfrak{Re}(\epsilon(\omega)) = n^2(\omega)
\\
\epsilon_2(\omega)= \frac{\gamma \frac{Ne^2}{m}}{\omega(\omega^2+\gamma^2)} = \mathfrak{Im}(\epsilon(\omega)) = \kappa^2(\omega)
\end{matrix}\right.$$