Il moto browniano frazionario è il processo stocastico che più si presta alla descrizione di fenomeni randomici che hanno memoria della loro storia passata. Oggi viene impiegato, assieme al moto browniano geometrico, nei mercati finanziari come strumento utile ad approssimare le variazioni degli indici di borsa e nello studio delle serie storiche. 📈
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In passato, il moto browniano frazionario, venne introdotto per studiare problemi di tutt’altro genere.
Lungo le sponde del Nilo più di cent’anni fa..
Harold E. Hurst e la quest della sua vita
Quando nel 1907 il giovane idrologo inglese Harold E. Hurst fu incaricato di studiare le variazioni annue della portata del fiume Nilo, fu piantato il primo seme che avrebbe portato alla definizione di moto browniano frazionario.
L’incarico venne attribuito da compagnie mercantili di Manchester, interessate al cotone egiziano. La bambagia da cui origina il cotone necessita di un clima particolare. Per questo motivo in Inghilterra si è sempre lavorata la materia prima fatta arrivare dalle colonie.
Hurst fu reso responsabile di un progetto di costruzione di nuove dighe chiamato “Century storage“. Lo scopo era accantonare tanta acqua del fiume Nilo quanta se ne fosse resa necessaria per far fronte alla massima siccità. Il compito non era facile. La portata del Nilo poteva variare da 42 a 151 miliardi di metri cubi in un anno. All’idrologo veniva chiesto, in sostanza, di creare un sistema per il quale l’acqua dei laghi artificiali non fosse ne troppa, ne troppo poca.
Il problema
Per poter ottimizzare lo stoccaggio idrico a lungo termine, Hurst, necessitava di poter prevedere l’evoluzione temporale di un sistema altamente randomico. Il fattore che più influenza la variabilità del livello d’acqua stoccata nelle dighe è la pioggia. E la pioggia è una componente altamente randomica.
Inizialmente lo fece applicando la legge del cammino casuale alla parte aleatoria del sistema, appunto, l’afflusso di acqua piovana. Per tutto il 1907 e i decenni a venire osservò a lungo e annotò le proprie riflessioni su questo ed altri sistemi naturali. Tra questi: gli anelli dei tronchi di pini e sequoie, le misure delle precipitazioni da Adelaide a Washington, le distribuzioni di temperatura superficiale da St.Louis a Helsinki, le macchie solari ecc..
La soluzione
Continuando i suoi studi, Hurst si rese conto che, taluni sistemi dinamici, non sono ben descritti dalla statistica del moto browniano. Era errato considerare statisticamente indipendenti le variazioni di flusso annue. Esse mostrano, infatti, un comportamento proporzionale al tempo di osservazione, ma con esponente sempre superiore alla mezza unità.
Decise quindi di introdurre un nuovo strumento statistico che chiamò coefficiente di Hurst. Il coefficiente di Hurst avrebbe sostituito l’esponente a cui è elevata la variabile temporale nella legge del moto browniano. Egli stimò che il nuovo coefficiente valeva $H=\frac{3}{4}$.
Indice di Hurst e serie persistenti
Il particolare moto randomico studiato da Hurst estende il concetto del moto randomico per eccellenza – il moto browniano – ammettendo che la successione di incrementi della variabile aleatoria considerata siano correlati nel tempo. Matematicamente ciò significa che:
$$\sigma \sim \Delta t^H$$
dove H è l’indice di Hurst e può assumere valori diversi dalla mezza unità, purché interni al range compreso fra 0 e 1. L’equazione così espressa è in grado di fornire immediatamente indicazioni sulle proprietà diffusive del sistema e permette di classificare le serie storiche nel modo seguente:
- Se $H=\frac{1}{2}$ il processo è completamente randomico. Non vi è correlazione e vale la legge del cammino aleatorio.
Per un sistema che non presentasse correlazione, non avesse coscienza delle sue parti né memoria del processo di formazione, le variazioni di afflusso di acqua piovana al Nilo sarebbero indipendenti dalla sua storia. Il processo di approvvigionamento sarebbe ben approssimato dalla legge del moto browniano. I valori registrati sarebbero casuali, sempre.
- Se $0<H<\frac{1}{2}$ la serie storica è anti-persistente e ha correlazione negativa. Le osservazioni successive tenderanno ad evolversi in senso opposto e il processo si dice essere sotto-diffusivo.
Per un sistema e correlazione a breve periodo (STC) – short term correlation – i valori assunti dipenderebbero da alcuni valori assunti in precedenza.
- Se $\frac{1}{2}<H<1$ la serie storica è persistente e ha correlazione positiva. Le osservazioni successive tenderanno ad evolversi nello stesso senso e il processo si dice essere sovra-diffusivo.
Se presentasse, una correlazione a lungo periodo (LTC) – long term correlation – ecco che si manifesterebbero delle fluttuazioni davvero speciali nelle serie storiche. Il sistema avrebbe memoria di tutta la sua storia precedente e le correlazioni si manifesterebbero a tutti i tempi di scala.
Dalle piene del Nilo all’analisi di mercati finanziari
Qualche anno più tardi, a Mosca, il matematico Andrej N. Kolmogorov lavorava ad una teoria assiomatica, che permette, oggi, di guardare al moto browniano come ad un processo stocastico a tempi continui: il processo di Wiener.
Il moto browniano e i processi di Wiener
Il moto browniano o processo di Wiener – per gli statisti – è il moto randomico per eccellenza. Inizialmente di interesse fisico, poi applicato a numerosi altri ambiti tra cui la finanza, il moto browniano è un processo stocastico $\{B_t\}_t\geq 0$ reale, a tempo continuo e ad incrementi gaussiani stazionari.
E’ utilizzato per descrivere l’evoluzione temporale di una grandezza la cui media varia come la radice quadrata del tempo di osservazione. La sua derivata $\frac{dB}{dt}$ è il rumore bianco gaussiano – gaussian white noise – nel limite improprio del termine poiché un processo di Wiener non ammette derivate nel senso tradizionale .
Lo si può intendere come limite di una passeggiata aleatoria – random walk – ad incrementi di varianza finita. Cioè come moto di un punto soggetto a successivi spostamenti aventi direzione casuale e modulo distribuito secondo una legge assegnata. Nel caso più semplice la legge assegnata è costante.
Dal moto browniano al moto browniano frazionario
Il moto browniano, come si è capito, fa parte di quelle funzioni aleatorie che non sono correlate.
Louis J.B. Bachelier fu il primo a rendersi conto che era possibile applicare le leggi del moto browniano allo studio dei mercati finanziari. Nel limite di un mercato ideale – in cui la variazione odierna dei prezzi non è influenzata dalle variazioni precedenti – presuppose che i mercati siano in grado di annullare qualsiasi rischio amputabile a fattore razionali.
Proprio a partire da alcune critiche al modello di Bahcelier, Benoît Mandelbrot – il padre putativo degli insiemi frattali- e John Van Ness ripresero i concetti elaborati da Hurst e Kolmogorov, introducendo quello che oggi conosciamo come moto browniano frazionario. Per i due, i mercati finanziari, specialmente quello azionario, devono essere considerati intrinsecamente caotici e non lineari o perfetti.
La preferenza nell’utilizzo del moto browniano frazionario, rispetto al moto browniano, per la descrizione degli andamenti di mercati finanziari si giustifica quando una variazione dei prezzi risulti essere dipendente dalle variazioni precedenti.
Quando il sistema mercato ha correlazione, il semplice moto browniano non è in grado di descriverlo. E, come abbiamo visto, la correlazione è un fenomeno estremamente comune nei processi naturali.
Possiamo quindi pensare al processo browniano frazionario come al più semplice modello che è possibile ottenere a partire dal moto browniano, quando vogliamo che il sistema sia sottoposto a correlazione.
Ci vorrebbe un idrologo..!
Siamo quasi arrivati alla fine di un percorso che ha viaggiato fra diversi continenti e per diverse epoche. Abbiamo avuto modo di vedere come strumenti statistici oggi usati in moltissimi campi da esperti e analisti, traggano origine dal lavoro sul campo non solo di matematici e statisti ma di idrologi! Così come l’osservazione delle particelle in sospensione su un solvente effettuata dal botanico scozzese Robert Brown ha portato alla nascita del moto browniano, così l’intuizione avuta da un idrologo inglese ci ha condotto alla sua naturale evoluzione.
In questo post ci siamo concentrati soprattutto sull’aspetto qualitativo di quel che significa avere a che fare con un processo browniano frazionario. Per continuare con questo argomento è necessario però far uso di strumenti e linguaggi statistici che renderebbero l’attuale articolo troppo lungo. Ora che abbiamo preso più di confidenza in questo settore, possiamo però permetterci di addentrarci nella questione un po’ più a fondo.
Se è questa l’intenzione, per apprezzare ancor di più il lascito del Signor Hurst, clicca su quest’altro articolo dal titolo “Il moto browniano frazionario: Boss Level“. Alla prossima!