Il premio Nobel per la Fisica dell’ultimo anno è stato assegnato il 5 ottobre 2021 alla coppia Syokuro Manabe e Klaus Hasselmann, per la modellizzazione fisica del clima terrestre, e al fisico nostrano Giorgio Parisi, per alcuni studi legati all’ambito della fisica dei sistemi complessi. Di origini romane, laureatosi all’Università La Sapienza di Roma sotto Nicola Cabibbo, Parisi è stato ricercatore e docente in diverse Università americane ed europee per succedere, infine, alla cattedra appartenuta al suo relatore. Dal 2018 è anche presidente dell’Accademia Nazionale dei Lincei. Giorgio Parisi non è un uomo che ha bisogno di troppe presentazioni. Chi ha scelto di intraprendere una carriera scientifica avrà di frequente incrociato il suo nome e questo perché l’ambito di interesse delle sue ricerche, la fisica dei sistemi complessi, si riallaccia a così tanti altri settori da far sì che i suoi articoli scientifici siano tra i più citati al mondo .
Giorgio Parisi premio Nobel per la Fisica 2021.
L’oggetto di studio del settore di indagine di Parisi sono i sistemi dinamici, egli indaga cioè sulla evoluzione temporale di un macro-insieme di oggetti qualsiasi in interazione tra loro. Già da questa generica introduzione appare evidente come un tale campo possa avere risvolti utili in fisica, matematica, chimica, meteorologia ma anche in sociologia. Non starò qui ad approfondire ulteriormente l’importanza di questo settore seppur tanto affascinante. Preferisco concentrarmi, invece, su di uno specifico risultato della disciplina che si applica ad esempio per seguire l’evoluzione del profilo di una fiamma che si propaga su di un foglio o della struttura creata dalla neve che si deposita su di un vetro o della crescita superficiale che avviene mediante deposizione chimica da vapore o epitassia da fascio molecolare. Si tratta della famosa equazione KPZ introdotta nel 1986 dai fisici Kardar, Parisi e Zhang.
LA DEPOSIZIONE BALISTICA E L’EQUAZIONE KPZ
È l’equazione continua più semplice in grado di descrivere l’evoluzione temporale della crescita superficiale di una interfaccia che vanta termini non lineari. Proprio per la presenza di questi termini non può essere risolta esattamente, tuttavia, una serie di metodi di approssimazione viene impiegata per ritrovare la corretta forma dello scaling degli esponenti di scala. È in grado di descrivere quella che è nota come deposizione balistica cioè, la deposizione che si ha quando ogni singolo elemento che viene depositato su di un reticolo lineare si appiccica alla prima particella che trova lungo la sua discesa verticale, sia che il legame avvenga sulla parete destra, sinistra o sottostante l’elemento.
Esempio di creazione di una struttura per deposizione balistica. La particella A si appiccica lateralmente all’ultimo elemento della colonna adiacente alla sua direzione di caduta, mentre la particella B, non avendo ai lati elementi più alti della superficie normale al suo moto, si appiccicherà ad essa.
Così come a partire dalla equazione di deposizione random, con alcune considerazioni di simmetria è stato possibile giungere alla equazione di Edward-Wilkinson (vedi qui), da quest’ultima è possibile giungere alla KPZ andando ad annullare una di queste simmetrie. Lo scopo è che l’equazione faccia sì che le particelle che vengono depositate si appiccichino ai primi vicini che incontrano lungo la loro caduta, siano questi disposti lungo colonne laterali a quella di caduta o sul pavimento della stessa. Come è intuibile, questo porta ad un arricciamento della superficie. Una interfaccia ottenuta per deposizione balistica risulterà più rugosa di una ottenuta per deposizione casuale con e senza rilassamento.
L’equazione KPZ è stata sviluppata da Kardar, Parisi e Zhang proprio in riferimento allo studio della crescita di cristalli su di un film sottile ed ha avuto il merito, fin da subito, di infiammare un gran numero di ricerche in questo settore, dando luogo anche ad una nuova classe di universalità nella quale rientrano fenomeni fisici come la crescita di colonie batteriche, la propagazione dei fronti delle fiamme, la diramazione delle crepe, la diffusione dell’inchiostro su un foglio di carta ecc..
La deposizione balistica è in grado di creare strutture dalla forma più ramificata, frastagliata rispetto alle deposizioni random con e senza rilassamento superficiale.
La crescita delle superfici è senza dubbio un fenomeno dinamico di non equilibrio e come tale, non potendo contare sui numerosi risultati validi per le dinamiche all’equilibrio, ogni sistema che ne viene generato merita di essere studiato. Sia h(x,t) l’altezza della superficie alla posizione x e al tempo t, la derivata temporale dell’altezza, funzione di x e t, dipende essenzialmente da tre fattori:
- L’appianatura (smoothing) il cui contributo è inglobato nel laplaciano
- La velocità di crescita rotazionalmente invariante e dipendente dalla pendenza, il cui contributo è inglobato nel quadrato del gradiente
- Il rumore esplicitato dalla funzione eta di rumore gaussiano
L’equazione KPZ è la seguente:
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\nu \nabla^2 h + \frac{\lambda}{2}(\nabla h)^2 + \eta(\vec{x},t)$$
Con $\eta$ rumore gaussiano a media nulla e varianza unitaria, $\nu$ e $\lambda$ parametri che rappresentano la forza dei rispettivi termini di diffusione e di crescita laterale spesso calcolati euristicamente. Proviamo a costruire questa equazione per via bottom-up. L’equazione di crescita più semplice che viene in mente probabilmente è l’equazione di diffusione lineare (o del calore) in grado di descrivere la propagazione di calore in un corpo omogeneo ed isotropo con densità costante, in cui si ha che la derivata prima temporale del profilo h è pari mezza volta il laplaciano di h. Cosa ci dice tutto questo? Anzitutto che l’equazione non è stocastica bensì deterministica, in quanto non vi appare un termine in grado di assorbire le fluttuazioni di sistema. Per sopperire a questo addizioniamo il termine eta. In seconda battuta che questa equazione coincide con la Edward-Wilkinson per la crescita di superfici attraverso il fenomeno di deposizione con rilassamento laterale. E’ evidente che manca un termine, non lineare, in grado di tenere conto della peculiarità di questo sistema. Per includere la crescita laterale possiamo ragionare in regime di piccola pendenza: consideriamo una crescita infinitesima, perpendicolare alla superficie $dh$ e consideriamo il teorema di Pitagora per cui
$$\delta h = [\delta h_{\perp}^2 + \delta h_{\parallel}^2]^\frac{1}{2}$$
$$\delta h = [(v\delta t)^2+(v\delta t \nabla h)^2]^\frac{1}{2} = v\delta t[1+(\nabla h)^2]^\frac{1}{2} $$
con $\left| \nabla h \right|\ll 1$ e quindi $\delta h \sim v\delta t [1+\frac{1}{2}(\nabla h)^2+…]$ ovvero:
$$\frac{\partial h}{\partial t}= v + \frac{v}{2}(\nabla h)^2$$
Tenendo solo la parte non costante, l’equazione che si ottiene è la iniziale nella quale il coefficiente di crescita laterale viene indicato con $\lambda$ per distinguerlo da quello di diffusione $v$. Rispetto alle simmetrie valide per la equazione di EW, la KPZ non rispetta la simmetria di inversione up-down: il sistema è, cioè, non invariante per la trasformazione h -> -h. Seppur a prima vista la KPZ è confezionata bene, risolverla esattamente non è banale per due semplici motivi:
- È non lineare
- Contiene un termine di rumore
TRASFORMAZIONE DI COLE-HOPF
L’equazione differenziale KPZ così com’è scritta in precedenza è mal posta (vedi qui). Significa che l’equazione diverge nel suo dominio di definizione. Per fornirle un supporto matematico adeguato è conveniente rielaborare l’espressione introducendo la trasformazione di Cole-Hopf:
$$Z(x,t) = exp(h(x,t))$$
Applicando la trasformazione di Kole_Hopf alla equazione KPZ quest’ultima diventa:
$$\frac{\partial Z(x,t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 Z(x,t)}{\partial x^2}+\eta(x,t) Z(x,t)$$
Ora l’equazione è lineare ma il rumore gaussiano eta è diventato moltiplicativo. Il vantaggio sta nell’aver dato alla KPZ la forma di una equazione di schroedinger immaginaria. Z può essere interpretata come una funzione di partizione stocastica e l’equazione sopra viene detta equazione di di calore stocastica (stochastic heat equation).
EQUAZIONE DI BURGERS
La KPZ è a tutti gli effetti equivalente alla equazione di Burgers i.e. una equazione del tipo:
$$\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} + u(x,t)\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} + F(x,t)$$
Per mappare la KPZ nella equazione di Burgers si opera il cambio di variabili: u(x,t)=-Ñh. Ciò significa che entrambe devono avere gli stessi esponenti di scala. Questa equazione, non lineare, non manifesta carattere caotico come ci si aspetterebbe. Non è sensibile a piccole variazioni delle condizioni iniziali. Infatti, applicando la trasformazione di Cole-Hopf a questo genere di equazioni si ottiene una equazione parabolica lineare. L’equazione di Burgers è invariante per trasformazioni di Galileo. Le leggi del moto non variano se si osserva il fenomeno da un sistema di riferimento fisso ed uno in moto rispetto al primo con velocità costante v. Lo stesso si può dire per la equazione KPZ inclinata:
EQUAZIONE STOCASTICA DEL CALORE
La trasformazione di Cole-Hopf, quindi, mappa la soluzione della equazione non lineare di Burgers alla equazione lineare del calore. In effetti
$$\frac{\partial Z(x,t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 Z(x,t)}{\partial x^2}+\eta(x,t) Z(x,t)$$
È nota coma equazione stocastica del calore. Ora è conveniente passare sa una rappresentazione in stile Langevin (in cui il rumore appare esplicitamente nella equazione come potenza prima) ad una equazione differenziale stocastica. Per farlo esprimo il rumore bianco gaussiano come derivata prima del moto browniano in quella che è nota come rappresentazione di Wiener.
$$\eta(x,t) = dB(x,t)/dt$$
$$dZ(x,t)=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 Z(x,t)}{\partial x^2}dt + Z(x,t)\times dB(x,t)$$
Come interpretare il prodotto finale a secondo membro? Secondo la visione di Ito, alla regola della catena va aggiunto un termine correttivo, secondo la visione di Stratonovich, invece, si applica la regola della catena classica. L’interpretazione di Ito da luogo a delle divergenze per d(0) mentre quella di Stratonovich no.
CLASSE DI UNIVERSALITA’ PER LA KPZ
Confrontare gli esponenti di scala della deposizione balistica ottenibili per via numerica, con gli esponenti di scala della equazione KPZ ne mette in evidenza la somiglianza e suggerisce che i due modelli facciano parte della stessa classe di universalità. Si trovano i valori seguenti per il caso 1+1 dimensionale:
- Alfa = 1/2
- Beta = 3
- Zeta = 3/2
Per approfondire ulteriormente l’argomento, rimando a questo articolo più datato. Alla prossima!