Molto spesso nello studio dei fenomeni naturali si incontra l’esigenza di studiare il comportamento dei sistemi di equazioni differenziali di cui, a volte, non si è interessati a trovare una espressione per l’integrale generale (quella famiglia di funzioni cioè che risolvono il problema) ma si desidera piuttosto arrivare ad una soluzione particolare che, tuttavia, non sempre è possibile.
Innanzitutto, occorre porre il problema correttamente. Secondo il matematico francese Jacques Solomon Hadamard (Versailles 1865 – Parigi 1963) ciò significa garantire tre cose:
- che la soluzione esista (condizione di esistenza)
- che sia unica (condizione di unicità)
- che il suo comportamento vari in modo continuo al variare dei dati (condizione di stabilità)
Al contrario un problema che non garantisce tutti e tre i requisiti si dice essere mal posto. La convinzione iniziale di Hadamard era quella di considerare i problemi con riscontro reale, di interesse fisico, come ben posti. Tuttavia, sappiamo che il problema inverso della equazione del calore che mira a cercare la distribuzione di temperatura iniziale data una sua distro finale è mal posto in quanto la soluzione è fortemente sensibile ai cambiamenti nei dati finali.
Il fatto di essere mal posti è una caratteristica tipica di tutti i problemi inversi. Questa peculiarità ha portato ad una spinta nel loro settore di studio.
Ad esempio le TAC, le SPECT e le altre macchine per tomografia computerizzata risolvono continuamente problemi inversi, così come le indagini di prospezione geologica e di scattering.
Prima di procedere quindi ci si dovrebbe accertare, sempre, che il problema sia ben posto così da potervi applicare un algoritmo stabile. Ciò ovviamente esula dalle competenze di chi non si occupa prettamente di questo campo; qualsiasi IVP o BVP proposto in un eserciziario sarà certamente risolvibile. Quello che voglio passare è il fatto di non dare per scontato niente quando si tratta di EDO (equazioni differenziali ordinarie) ed EDP (equazioni differenziali parziali).
Per evidenziare le differenze fra problema diretto ben posto e inverso mal posto, ci viene in aiuto il mito della caverna attribuito a Platone.
Nel mito alcuni prigionieri costretti a vivere all’interno di una caverna senza mai uscire si interrogano su come sia fatto il mondo esterno. E’ ovvio che proiettare ombre sul muro è un problema ben posto, noti che sono gli oggetti da proiettare e le posizioni di muro e fuoco. Al contrario, il problema inverso di trovare la forma dell’oggetto di cui si proietta l’ombra è mal posto. A oggetti diversi, in posizioni diverse, può corrispondere la stessa ombra.
Non dobbiamo dimenticare poi la scomoda verità per la quale un problema, anche se è ben posto inizialmente, può comunque essere mal condizionato per cui, un piccolo errore nei dati iniziali, ad esempio nei sistemi caotici, si ripercuote sulla soluzione finale generando una instabilità che prima non c’era.
Per trovare una soluzione ai problemi mal posti, che sia abbastanza vicina a quella vera, si rinuncia a trovare la soluzione esatta al problema considerato e si cerca la soluzione di un problema diverso ma meglio condizionato, ricorrendo all’aiuto fornito dai metodi di regolarizzazione di cui le due versioni più note, forse, sono il metodo della decomposizione in valori singolari troncata (TSVD) e il metodo di regolarizzazione di Tikhonov, una sorta di rivisitazione del metodo dei minimi quadrati.
Una via d’uscita c’è sempre, occorre solo disporre dei mezzi utili, di una torcia o di un incantesimo “Lumos Solem” per illuminare la via.
Tornando alle due categorie di problemi ben posti di cui ci interessa trovare la soluzione e prima di procedere in questa direzione occorre evidenziare le differenze tra i vincoli imposti per poter capire appieno quali sono e perché sono diversi, i metodi numerici che vi vengono applicati:
- i problemi ai valori iniziali (IVP) o di Cauchy ben posti, forniscono le condizioni iniziali al problema, cioè i valori che la funzione e le sue derivate assumono nello stesso punto, il punto iniziale
- i problemi al contorno (BVP) ben posti invece, forniscono le condizioni al contorno, cioè i valori che la funzione (nel caso di Dirichlet) o le sue derivate (nel caso di Neumann) o una loro combinazione lineare (nel caso di Robin) assumono in punti diversi del dominio, i punti al bordo
Questa semplice ma fondamentale differenza legalizza, solo nel primo caso, l’utilizzo della espansione in serie di Taylor per approssimare la funzione in un punto. Da qui, si ha la possibilità di utilizzare metodi a un passo o a più passi, diretti o indiretti per la valutazione della funzione incognita nei successivi punti di dominio. Tutti i metodi utilizzati (Runge-Kutta di qualsiasi ordine, Eulero all’avanti o all’indietro, ecc…) approssimano un integrale del tipo:
$$\int_{t_i}^{t_{i+1}}f(s,u(s))ds$$
Eventualmente, un esempio di problema che rientra in questa categoria lo posterei in seguito. Tornando all’impiego dell’espansione in serie di Taylor per la funzione, essendo ciò impossibile per i problemi al contorno, avendovi imposto le condizioni vincolanti in punti diversi del dominio, si utilizzano, per la approssimazione della incognita, metodi spettrali quali lo sviluppo in serie di Fourier e il metodo degli elementi finiti.
Ora, questo è un blog fatto da una dilettante, e quel che vi scrivo, come ripetuto più volte, può riportare alcuni errori. Personalmente, ritengo che il metodo degli elementi finiti (FEM) possa essere considerato un metodo spettrale a tutti gli effetti. Infatti, approssima anch’esso la soluzione incognita attraverso la sommatoria di una funzione di base per opportuni coefficienti. Tuttavia, a differenza dei metodi spettrali classici, la funzione base non si estende per tutto il dominio di definizione ma per singoli sottodomini (non è il classico seno regolare ovunque). Si pone quindi il problema in forma matriciale Ax=b, e si ricava il vettore soluzione x, per inversione diretta della matrice A o tramite metodi quali la eliminazione di Gauss, attraverso conti svolti dal calcolatore.